OneClass
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một dạng toán tương đối khó nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi và cũng là dạng khiến rất nhiều em học sinh gặp khó khăn trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán. Hiểu được điều đó, bài viết này ONELASS sẽ cung cấp đế bạn đọc kiến thức về dạng toán này đặc biệt là các phương pháp để có thể chứng minh được 3 điểm thẳng hàng một cách đơn giản nhất. Cùng xem ngay nhé!
Khái niệm 3 điểm thẳng hàng
Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng
Tham khảo tài liệu :
Chứng minh ba điểm thẳng hàng Nguyễn Đức Tấn
Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng
3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.
Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì
Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
- Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cần chứng minh thuộc hai cạnh là hai tia đối nhau.
- Ba điểm cần chứng minh thuộc cùng 1 tia hoặc một đường thẳng bất kì
- Hai đoạn thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cần chứng minh cùng song song với một đường thẳng thứ 3
- Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 nào đó.
- Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua điểm thứ 3
- Áp dụng tính chất của đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hay tính chất ba đường cao trong tam giác
- Áp dụng các tính chất của hình bình hành
- Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn
- Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh
- Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
- Chứng minh diện tích tam giác của 3 điểm bằng 0
- Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng chuẩn nhất
Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’≡ K thì A, K, C thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.
Hướng dẫn giải:
Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :
DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh).
DC = DM (gt).
=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)
=> ∠C1 = ∠M và BC = AM.
Mà : ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.
Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.
Ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)
=> A, M. N thẳng hàng. (1)
BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).
Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.
Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN
Bài tập luyện tập
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).
Lời kết
Trên đây là toàn bộ kiến thức về lý thuyết, phương pháp và một số bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hy vọng với bài viết của ONECLASS này này sẽ hỗ trợ các em học sinh có thêm các phương án giải khi gặp về dạng bài tập này. Chúc các em học tập và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.